Integración por partes

 Oscar Enrique Gonzalez López

Clase del 9 de Noviembre 2024

Profe. Alejandro Gómez

Tema: Integración por partes

 

Lo aprendido en clase:

Lo que aprendí en clase fue integración por partes. Se me hizo mas sencillo integrar por partes, reforzare mas del tema buscando videos relacionados al tema. 

Conocimiento Consultado:

Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:

Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU).

Ver demostración de la fórmula

Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo correctamente.

Método:

1. El integrando debe ser un producto de dos factores (si no lo es, podemos transformarlo para que lo sea).
2. Uno de los factores será $u$ y el otro será $dv$.
3. Se calcula $du$ derivando $u$ y se calcula $v$ integrando $dv$.
4. Se aplica la fórmula.

• Escoger adecuadamente $u$ y $dv$:

  Una mala elección puede complicar más el integrando.

  Supongamos que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por ejemplo $x^3$). Si consideramos $dv=x^3$. Entonces, integrando tendremos que $v=x^4/4$, con lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto suele suponer un paso atrás.

  Normalmente, se escogen los monomios (o polinomios) como $u$ para reducir su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 0, el monomio es igual a 1 y el integrando es más fácil.

  Algo parecido ocurre con las fracciones (como $1/x$). Si consideramos $dv=1/x$, tendremos $v=\log |x|$ y, probablemente, obtendremos una integral más difícil.

  Como norma general, llamaremos $u$ a las potencias y logaritmos y $dv$ a las exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas.

• No cambiar la elección:

  A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para calcular una misma integral.

  En estas integrales, al aplicar el método por n-ésima vez, tenemos que llamar $u$ al resultado $du$ del paso anterior y $dv$ al resultado $v$. Si no lo hacemos así, como escoger una opción u otra supone integrar o derivar, estaremos deshaciendo el paso anterior y no avanzaremos.

• Integrales cíclicas:

  En ocasiones, tenemos que despejar la propia integral de la igualdad obtenida para poder calcularla. Por ejemplo, podemos aplicar integración por partes para calcular la integral $\int xdx$, considerando $u=x$ y $dv=dx$. Entonces, obtenemos

  

  Observar que tenemos la misma integral en ambos lados, así que podemos operar como si fuese una ecuación (como $x=a-x$, de donde $x=a/2$), despejando en un lado:

  

  Otros ejemplos de integrales cíclicas: Integral 10, Integral 17 e Integral 19.

• No hay que olvidar la constante de integración, $C\in R$, al final de cada integral.

Video relacionado al tema:

Imagen:

Referencias: https://matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm