Integración por fracciones parciales

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Clase del 16 de Noviembre 2024

Profe. Alejandro Gómez

Tema: Integración por fracciones parciales

Lo aprendido en clase:

Conocimiento Consultado:

La integración por fracciones parciales es una técnica fundamental en el cálculo de integrales que permite resolver integrales de racionales mediante la descomposición de fracciones. Este método es especialmente útil cuando se trabaja con integrales en las que el numerador tiene un grado igual o superior al del denominador. Si te has encontrado con este tipo de integrales, quizás te hayas preguntado cómo abordar su resolución de una manera estructurada y comprensible.

A lo largo del documento, abordaremos qué son estas fracciones, por qué son importantes, los requisitos previos necesarios para aplicar esta técnica y, lo más importante, cómo llevar a cabo el proceso paso a paso. Aprenderás a utilizar la integracion por fracciones parciales para facilitar tus cálculos y resolver integrales complejas de manera efectiva.

Proceso de división de polinomios

El primer paso en el proceso de integración por fracciones parciales es asegurarse de que la fracción esté en la forma adecuada. Esto involucra realizar una división de polinomios si el grado del numerador es mayor que el del denominador. Para ilustrar esto, vamos a considerar la función:

(intfrac{P(x)}{Q(x)}dx)

Donde (P(x)) es un polinomio de mayor grado que (Q(x)). La división de polinomios transformará la integral en la siguiente forma:

(A + frac{R(x)}{Q(x)})

Donde (A) es el resultado de la división, y (R(x)) es el residuo que será de menor grado que (Q(x)). Esto permite descomponer la integral en dos partes más manejables.

Descomposición del numerador

Una vez realizada la división de polinomios y obtenido el residuo, el siguiente paso en la integración por fracciones parciales es descomponer el residuo en fracciones parciales. Para una función racional (frac{R(x)}{Q(x)}), donde (Q(x)) se puede factorizar en términos lineales o cuadráticos, asumimos que la forma de descomposición es:

• (frac{A_1}{(x-a_1)^{k_1}} + frac{A_2}{(x-a_2)^{k_2}} + …) si (Q(x)) tiene raíces simples.
• (frac{Bx+C}{(x-a)^k}) si (Q(x)) tiene raíces repetidas.

Esta descomposición es necesaria para resolver la integral, ya que al descomponer se obtiene una suma de términos que son fáciles de integrar.

Estableciendo un sistema de ecuaciones

Después de descomponer el numerador, el siguiente paso es establecer un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de las constantes que aparecen en la expresión de las fracciones parciales. La idea es igualar el numerador de la suma de fracciones parciales con el numerador original que resultó del residuo.

Por ejemplo, si nos quedamos con un residuo que se expresa como:

(R(x) = A(x-a)^{k} + B)

Al multiplicar toda la expresión por el denominador original (Q(x)) para eliminar las fracciones, se debe conseguir una identidad que permitirá resolver el sistema de ecuaciones

Resolviendo las fracciones parciales

Una vez que se han establecido las ecuaciones, el siguiente paso en la integración por fracciones parciales es resolver estas ecuaciones para encontrar los valores de las constantes. Este proceso puede ser directo si el sistema de ecuaciones es simple, o puede requerir un poco más de álgebra si hay múltiples constantes.

Simplificando la expresión, se obtienen los valores de las constantes (A_1, A_2, …, A_n). Estos valores se utilizan para volver a formar las fracciones parciales y facilitar el proceso de integrar cada término individualmente.

Ejemplos de integración por fracciones parciales

Veamos un ejemplo práctico. Consideramos la integral:

(int frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx)

Primero realizamos la división de polinomios, dado que el grado del numerador es mayor que el del denominador. Esto nos da:

(x + frac{8x+6}{(x-2)^3})

A continuación, evaluamos la integral que ahora se ha descompuesto en dos partes: (int x dx) y (int frac{8x+6}{(x-2)^3}dx).

Resolviendo la primera parte

La primera integral (int x dx) se resuelve fácilmente utilizando la regla de potencia:

(=frac{x^2}{2})

Resolviendo la segunda parte

Para resolver la integral (int frac{8x+6}{(x-2)^3}dx), tenemos que usar fracciones simples para descomponer la parte fraccionaria. Vamos a expresar (frac{8x+6}{(x-2)^3}) en términos de fracciones parciales:

Partimos del siguiente formato:

(frac{A}{(x-2)} + frac{B}{(x-2)^2} + frac{C}{(x-2)^3})

Multiplicamos ambos lados por ((x-2)^3) y establecemos una igualdad:

(8x + 6 = A(x-2)^2 + B(x-2) + C)

Expandemos y agrupamos términos para igualar las constantes, lo que nos dará un sistema de ecuaciones que podemos resolver para (A), (B) y (C).

Resolviendo las integrales

Después de determinar que (A = 0), (B = 8) y (C = 22), la integral de (frac{8x+6}{(x-2)^3}) se puede integrar fácilmente:

(= int frac{8}{(x-2)^2} dx + int frac{22}{(x-2)^3} dx)

Resolviendo ambas, obtenemos:

(-frac{8}{x-2} – frac{22}{(x-2)^2})

Integral completa

Finalmente, al juntar todas las partes resueltas de nuestras integrales, encontramos que:

(int frac{x^4-6x^3+12x^2+6}{x^3-6x^2+12x-8}dx = frac{x^2}{2}-frac{8}{x-2}-frac{11}{(x-2)^2} + C)

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Referencias: https://matematix.org/integracion-por-fracciones-parciales/