Integración por fracciones parciales

 Oscar Enrique Gonzalez López

Clase del 16 de Noviembre 2024

Profe. Alejandro Gómez

Tema: Integración por fracciones parciales

 

Lo aprendido en clase:

Lo que aprendí en clase fue integración por fracciones parciales. Se me hizo mas sencillo, reforzare mas del tema buscando videos relacionados al tema. 

Conocimiento Consultado:

La integración por fracciones parciales es una técnica de integración que consiste en reescribir a una función racional como la suma de fracciones simples. Luego, la integral de cada fracción puede ser encontrada fácilmente.

A continuación, exploraremos varios ejercicios resueltos de integración por fracciones parciales o fracciones simples. Luego, veremos algunos ejercicios para resolver.

Cómo integrar funciones por fracciones parciales

El método de fracciones parciales es usado para integrar funciones racionales de la siguiente forma:

$$\int \frac{𝑥+2}{(𝑥-1)(𝑥-3)}𝑑𝑥$$

Para integrar a una función racional usando fracciones parciales seguimos los siguientes pasos:

1. Descomponer a la función racional en sus fracciones parciales

Puedes hacer una revisión de los métodos de descomposición en fracciones parciales en este artículo.

2. Forma una integral con cada fracción parcial

La integral de la suma de fracciones es igual a la suma de las integrales de cada fracción.

3. Resuelve cada integral usando el logaritmo natural

Usamos la integral estándar $\int \frac{1}{𝑥}=\ln (𝑥)+𝑐$ y la regla de la cadena.

Ejercicios resueltos de integración por fracciones parciales

EJERCICIO 1

Hallar la integral:

$$\int \frac{{𝑥}^2+𝑥+3}{𝑥-2}𝑑𝑥$$

Solución

Este caso corresponde a un integrando de la forma $\frac{𝑃(𝑥)}{𝑄(𝑥)}$ donde el grado de $𝑃(𝑥)$ es mayor o igual que el grado de $𝑄(𝑥)$.

En tal caso, lo primero que se debe hacer es efectuar la división de polinomios. De esta manera, el cociente $\frac{𝑃(𝑥)}{𝑄(𝑥)}$ queda expresado como:

$$\frac{𝑃(𝑥)}{𝑄(𝑥)}=𝑞(𝑥)+\frac{𝑟(𝑥)}{𝑄(𝑥)}$$

Donde $𝑞(𝑥)$ es el cociente y $𝑟(𝑥)$ el residuo. Para el integrando del ejemplo, se obtiene:

$$({𝑥}^2+𝑥+3)÷(𝑥-2)=(𝑥+3)+\frac{9}{𝑥-2}$$

Con esto en mente, la integral a resolver se reescribe así:

$$\int \left(\frac{{𝑥}^2+𝑥+3}{𝑥-2}\right)𝑑𝑥=\int [(𝑥+3)+\frac{9}{𝑥-2}]𝑑𝑥$$

Obteniéndose tres integrales inmediatas:

$$\int \left(\frac{{𝑥}^2+𝑥+3}{𝑥-2}\right)𝑑𝑥=\int 𝑥𝑑𝑥+3\int 𝑑𝑥+9\int \frac{𝑑𝑥}{𝑥-2}$$

$$\int \left(\frac{{𝑥}^2+𝑥+3}{𝑥-2}\right)𝑑𝑥=\frac{{𝑥}^2}{2}+3𝑥+9\ln \mathrm{\mid }𝑥-2\mathrm{\mid }+𝐶$$

Video relacionado al tema:

Imagen:

Referencias: https://www.neurochispas.com/wiki/ejercicios-de-integrales-por-fracciones-parciales/