Integración de potencias en funciones trigonométricas

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Clase del 23 de Noviembre 2024

Profe. Alejandro Gómez

Tema: Integración por fracciones parciales

Lo aprendido en clase:

Conocimiento Consultado:

Integración de productos y potencias de senx y cosx

Una idea clave de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de senx$\text{sen}𝑥$ y cosx$\text{cos}𝑥$ implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma ∫senjxcosxdx${{\displaystyle \int }}^{}{\text{sen}}^{𝑗}𝑥\text{cos}𝑥𝑑𝑥$ o ∫cosjxsenxdx.${{\displaystyle \int }}^{}{\text{cos}}^{𝑗}𝑥\text{sen}𝑥𝑑𝑥.$ Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución en u. Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 3.8

Integración de ∫cosjxsenxdx${{\displaystyle \int }}^{}{\text{cos}}^{𝑗}𝑥\text{sen}𝑥𝑑𝑥$

Evalúe ∫cos3xsenxdx.

PUNTO DE CONTROL 3.5

Evalúe ∫sen4xcosxdx.${{\displaystyle \int }}^{}{\text{sen}}^4𝑥\text{cos}𝑥𝑑𝑥.$

EJEMPLO 3.9

PUNTO DE CONTROL 3.6

Evalúe ∫cos3xsen2xdx.${{\displaystyle \int }}^{}{\text{cos}}^3𝑥{\text{sen}}^2𝑥𝑑𝑥.$

En el siguiente ejemplo, vemos la estrategia que debe aplicarse cuando solo hay potencias pares de senx$\text{sen}𝑥$ y cosx.$\text{cos}𝑥.$ Para las integrales de este tipo, las identidades

sen2x=12–12cos(2x)=1−cos(2x)2$${\text{sen}}^2𝑥=\frac{1}{2}–\frac{1}{2}\text{cos}(2𝑥)=\frac{1-\text{cos}\left(2𝑥\right)}{2}$$

y

cos2x=12+12cos(2x)=1+cos(2x)2$${\text{cos}}^2𝑥=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{cos}(2𝑥)=\frac{1+\text{cos}\left(2𝑥\right)}{2}$$

son inestimables. Estas identidades se conocen a veces como identidades de reducción de potencia y pueden derivarse de la identidad de doble ángulo cos(2x)=cos2x−sen2x$\text{cos}\left(2𝑥\right)={\text{cos}}^2𝑥-{\text{sen}}^2𝑥$ y la identidad pitagórica cos2x+sen2x=1.

Un ejemplo preliminar: Integración de ∫cosjxsenkxdx${{\displaystyle \int }}^{}{\text{cos}}^{𝑗}𝑥{\text{sen}}^{𝑘}𝑥𝑑𝑥$ donde k es impar

Evalúe ∫cos2xsen3xdx.

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Referencias: https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/3-2-integrales-trigonometricas